الجبر المتجه جزء لا يتجزأ من الفيزياء والرياضيات. يبسط العمليات الحسابية ويساعد في تحليل مجموعة متنوعة من المفاهيم المكانية. المتجه هو كمية مادية لها مقدار بالإضافة إلى الاتجاه. نظيره هو كمية عددية لها حجم فقط ولكن ليس لها اتجاه.
يمكن معالجة المتجه باستخدام عمليتين أساسيتين. هذه العمليات هي حاصل الضرب النقطي والمنتج التبادلي ، ولها اختلافات شاسعة.
المنتج النقطي مقابل المنتج المتقاطع
يتمثل الاختلاف بين حاصل الضرب النقطي والحاصل الضرب في متجهين في أن نتيجة حاصل الضرب النقطي هي كمية قياسية ، في حين أن ناتج الضرب التبادلي هو كمية متجهية.
حاصل الضرب النقطي لمتجهين يسمى أيضًا حاصل الضرب القياسي. إنه حاصل ضرب مقدار المتجهين وجيب الزاوية التي يشكلانها مع بعضهما البعض.
حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين يسمى أيضًا حاصل الضرب الاتجاهي. إنه حاصل ضرب مقدار المتجهين وجيب الزاوية التي يشكلانها مع بعضهما البعض.
جدول المقارنة بين المنتج النقطي والمنتج المتقاطع (في شكل جدولي)
| معلمة المقارنة | المنتج نقطة | المنتوج الوسيط |
|---|---|---|
| تعريف عام | حاصل الضرب القياسي هو حاصل ضرب حجم المتجهات وجيب الزاوية بينهما. | حاصل الضرب الاتجاهي هو حاصل ضرب حجم المتجهات وجيب الزاوية التي يرمز إليها كل منهما على الآخر. |
| العلاقة الرياضية | يتم تمثيل حاصل الضرب القياسي للمتجهين A و B على النحو التالي: Α.Β = ΑΒ cos θ | يتم تمثيل حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين A و B على النحو التالي: Α × Β = ΑΒ sin θ |
| المحصلة | ناتج حاصل الضرب النقطي للمتجهات هو كمية قياسية. | ناتج حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات هو كمية متجهة. |
| تعامد النواقل | يكون حاصل الضرب النقطي صفرًا عندما تكون المتجهات متعامدة (θ = 90 درجة). | يكون الضرب التبادلي هو الحد الأقصى عندما تكون المتجهات متعامدة (θ = 90 درجة). |
| التبادلية | حاصل الضرب القياسي لمتجهين يتبع القانون التبادلي: أ ب = ب أ | حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين لا يتبع القانون التبادلي: A × B ≠ B × A |
ما هو المنتج النقطي؟
حاصل الضرب النقطي أو الناتج القياسي لمتجهين هو حاصل ضرب مقاديرهما وجيب التمام للزاوية التي يقابلها متجه على الآخر. ويسمى أيضًا المنتج الداخلي أو منتج الإسقاط.
يتم تمثيلها على النحو التالي:
أ · Β = | أ | | ب | كوس θ
والنتيجة هي كمية عددية ، لذلك لها حجم فقط ولكن بلا اتجاه.
نأخذ جيب تمام الزاوية لحساب حاصل الضرب القياسي بحيث يصطف المتجهان في نفس الاتجاه. بهذه الطريقة نحصل على إسقاط متجه على الآخر.
بالنسبة للمتجهات ذات الأبعاد n ، يتم إعطاء حاصل الضرب النقطي بواسطة:
أ · Β = Σ α¡b¡
المنتج النقطي له الخصائص التالية:
Α · ب = ب · α
Α · (ب + ج) = α · ب + α · ج
(λα) · (μb) = μ (α · b)
المنتج النقطي له التطبيقات التالية:
يتم استخدامه للعثور على إسقاط نقطة على المستوى عندما تكون إحداثياتها معروفة.
ما هو المنتج المتقاطع؟
حاصل الضرب الاتجاهي أو الناتج المتجه لمتجهين هو حاصل ضرب مقاديرهما وجيب الزاوية يقابله أحدهما على الآخر. ويسمى أيضًا منتج المنطقة الموجهة.
يتم تمثيلها على النحو التالي:
أ × Β = | أ | | ب | الخطيئة θ
والنتيجة هي كمية متجهة أخرى. المتجه الناتج عمودي على كلا المتجهين. يمكن تحديد اتجاهه باستخدام قاعدة اليد اليمنى.
يجب مراعاة القواعد التالية أثناء حساب المنتج المتقاطع:
حيث I و j و k هي متجهات الوحدة في اتجاه x و y و z على التوالي.
المنتج التبادلي له الخصائص التالية:
أ × ب = - (ب × α)
أ × (ب + ج) = α × ب + α × ج
(λα) × (ب) = λ (α × ب)
يحتوي المنتج المتقاطع على التطبيقات التالية:
الاختلافات الرئيسية بين المنتج النقطي وعبر المنتج
حاصل الضرب النقطي والحاصل الضرب التبادلي يسمحان بالحسابات في الجبر المتجه. لديهم تطبيقات مختلفة وعلاقات رياضية مختلفة.
الاختلافات الرئيسية بين الاثنين هي:
استنتاج
الجبر المتجه له فائدة كبيرة في مواضيع رياضية مختلفة. استخدامه شائع جدًا في الهندسة والكهرومغناطيسية. حاصل الضرب النقطي والناتج العرضي للمتجهات هي العمليات الأساسية في الجبر المتجه. لديهم العديد من التطبيقات. حاصل الضرب النقطي يحسب كمية قياسية. هذه الكمية بشكل عام هي المسافة أو الطول.
يحسب الضرب التبادلي كمية متجه. إذن ، نحصل على متجه آخر في الفضاء. يمكننا إجراء عمليات مثل الجمع والطرح والضرب على المتجهات. الإزاحة والسرعة والتسارع هي نواقل شائعة في الفيزياء.
تطور مفهوم المتجهات منذ أكثر من 200 عام. منذ ذلك الحين ، ازدهرت بسبب مساهمات العديد من علماء الرياضيات والعلماء.
