الفرق بين التفاضل والمشتق (مع الجدول)

يتم احتواء المشتقات داخل المعادلات التفاضلية. أنها تمثل معدل تغير المتغيرات. عندما يتغير المتغير المستقل ، يجب ملاحظة التغيير المقابل الناتج في المتغير التابع. تشير المشتقات إلى معدل التغيير هذا من خلال دراسة ميل الدالة على الرسم البياني.

التفاضلية مقابل المشتق

الفرق بين المشتق والتفاضل هو من حيث الوظيفة التي يؤديها كل منهما والقيم التي يمثلها كل منهما. تمثل التفاضلات أصغر الاختلافات في الكميات المتغيرة مثل مساحة الجسم. يتيح حساب العلاقة بين المتغيرات المستقلة والتابعة في المعادلة.

جدول المقارنة بين التفاضل والمشتق

معلمات المقارنة	التفاضل	المشتقات
تعريف	تمثل التفاضلات أصغر الاختلافات في الكميات المتغيرة.	تمثل المشتقات معدل تغير المتغيرات في المعادلة التفاضلية.
الفرق محسوب	يتم حساب الفرق الخطي.	يتم حساب ميل الرسم البياني عند نقطة معينة.
علاقة	تستخدم المعادلات التفاضلية المشتقات للوصول إلى حلول نهائية. يتم احتواء المشتقات داخل المعادلات التفاضلية.	المشتقات تشير ببساطة إلى معدل تغير المتغير التابع مقابل المتغير المستقل.
دلالات وظيفية	الدلالات الوظيفية بين المتغيرات غير معروفة	الدلالات الوظيفية بين المتغيرات معروفة.
يتمثل ب	يتم تمثيل المعادلات التفاضلية بالعديد من الصيغ. أحد أكثرها شيوعًا هو: dy / dx = f (x)	هناك درجات مختلفة من المشتقات مع صيغ تمثيل متنوعة. التمثيل الصيغة الأكثر استخدامًا للمشتق هو: d / dx

ما هو التفاضل؟

كحقل فرعي لحساب التفاضل والتكامل ، تمثل المعادلات التفاضلية الاختلاف المتناهي الصغر في بعض الكميات المتقلبة. المعادلات التفاضلية تحتوي على المشتقات ووظائفها. تقيس التفاضلات المسار الخطي للتغيير في المتغير التابع كنتيجة لتغيير كمية المتغير المستقل.

هناك عدة أنواع مختلفة من المعادلات التفاضلية بترتيب ودرجات متفاوتة من التعقيد الرياضي. تُستخدم المعادلات التفاضلية لوصف حركة موجات الحرارة ، والتغير في أعداد السكان ، وانحلال المواد المشعة ، وحركة الكهرباء ، وحركة البندول ، إلخ.

تشير المعادلات التفاضلية أساسًا إلى العلاقة بين متغيرين ، حيث يتم تشغيل تغيير أحد المتغيرات عن طريق التغيير الناتج في الآخر. إنها الأداة المنهجية المستخدمة لحساب مشتقات الوظائف. ومن ثم فهي معادلة تمثيلية. غالبًا ما يتم تمثيل المعادلات التفاضلية على النحو التالي:

حيث b هو المتغير التابع والمستقل.

ما هو المشتق؟

في أبسط المصطلحات ، تشير المشتقات إلى معدل التغيير في المتغيرات ، عندما يتم تسجيل تغيير في المتغير المستقل وينتج التغيير المقابل في المتغير التابع. ومن ثم ، فإنه يسلط الضوء على التغيير في الإخراج بسبب تغيير في قيمة الإدخال.

يتم استخدام المشتقات بشكل شائع مع المعادلات التفاضلية. التفاضل هو العملية المستخدمة لإيجاد المشتقات. يتم استخدامها للإشارة ضمنيًا إلى منحدر خط الظل. خلال فترة زمنية معينة ، تقيس المشتقات شدة انحدار الدالة.

يمكن تصنيف المشتقات أيضًا كمشتقات من الدرجة الأولى والمشتقات من الدرجة الثانية ، تمامًا مثل التفاضلات. بينما يمكن توقع الأول مباشرة من منحدر الخط ، فإن الأخير يأخذ في الاعتبار تقعر الرسم البياني.

هم جزء مهم من الحسابات الرياضية. غالبًا ما يتم تمثيل المنحدر على النحو التالي:

د / DX

على سبيل المثال ، يُعرَّف الاشتقاق على أنه معدل تغير b بالنسبة إلى a. يتم التعبير عن هذه العلاقة كـ b = f (a) ، حيث b هي دالة a. تخلق قيمة هذه الوظيفة ميل f (a). غالبًا ما يستخدم الباحثون العلميون المشتقات في المعادلات التفاضلية لقياس التغيرات في قيمة المتغيرات لتكون قادرة على التنبؤ بإيجاز بسلوك الأنظمة المتغيرة.

الاختلافات الرئيسية بين التفاضلات والمشتقات

1. الفرق الرئيسي بين الفروق والمشتقات هو من حيث تعريفاتها التي تؤثر بالتالي على وظائفها في المجال الرياضي. الأول هو مجال فرعي لحساب التفاضل والتكامل يشير إلى الاختلاف المتناهي الصغر في بعض الكميات المتقلبة. من ناحية أخرى ، تشير المشتقات إلى تغيير قيمة المخرجات بسبب التغيير المقابل في قيمة الإدخال. إنه يشير إلى معدل هذا التغيير.
2. تحتوي المعادلات التفاضلية على مشتقات أو وظائف مشتقات. في حين أن المشتقات تشير ببساطة إلى التغيير الفوري الذي يحدث مع تغيير المتغير المستقل الذي ينتج عنه تغيير مقابل في قيمة المتغير التابع.
3. الدلالة الوظيفية بين المتغيرات التابعة والمستقلة معروفة في حالة المشتق وغير معروف في حالة التفاضل. يمثل هذا فرقًا مهمًا آخر بين المفهومين الرياضيين.
4. تختلف صيغ المعادلة التفاضلية والمشتقة اختلافًا كبيرًا أيضًا. dy / dx = f (x) يمثل الأول ، حيث y هو التابع و x المتغير المستقل. يتم تمثيل المشتقات بـ d / dx.
5. تمثل التفاضلات القيمة الحقيقية للتغيير من خلال خريطة خطية ، بينما تمثل المشتقات نفس التغيير من خلال خريطة المنحدر. تحسب المشتقات ميل دالة على الرسم البياني في أي نقطة زمنية معينة.

استنتاج

تعتبر كل من الفروق والمشتقات مفاهيم رياضية أساسية لا غنى عنها في تطبيق ودراسة المشكلات الرياضية المعقدة. غالبًا ما يتم استخدام كلاهما بالاقتران مع بعضهما البعض ويمكن في كثير من الأحيان إساءة تفسيرهما - إذا ظلت معانيهما أو وظائفهما غير واضحة.

الاختلافات بين المفهومين ضئيلة ولكن في نفس الوقت من المهم إدراكها. يختلف المفهومان من حيث تطبيقهما واستخدامهما في المعادلات. بينما تحتوي المعادلة التفاضلية على مشتقات أو وظائف المشتقات ، فإن المشتقات هي مقياس التغيير الفوري الذي يحدث في متغير تابع يتم تشغيله من خلال التغيير المقابل في المتغير المستقل.

التفاضلات هي تمثيل للعلاقة الموجودة بين متغيرين. يستخدم المشتقات لتحديد هذه العلاقة بوضوح وقياس التغيرات اللامتناهية في الصغر.

تمثيل كل يختلف اختلافا كبيرا. علاوة على ذلك ، فإن التفاضلات ترسم تغيير القيمة الحقيقية من خلال رسم الخرائط الخطية بينما المشتقات ترسم منحدر التغيير. يجسد كل مفهوم أيضًا أشكالًا متغيرة مهمة.

مراجع

1. https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/8579172/
2. https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.4169/074683410X480195